Leopold Kronecker, (né le 7 décembre 1823 à Leibnitz, Prusse [aujourd’hui Legnica, Pologne] – décédé le 29 décembre 1891 à Berlin, Allemagne), mathématicien allemand dont les principales contributions concernaient la théorie des équations et l’algèbre supérieure. Kronecker a acquis une passion pour la théorie des nombres auprès d’Ernst Kummer, son professeur de mathématiques au Leibnitz Gymnasium, et a obtenu son doctorat à l’Université de Berlin avec une thèse (1845) sur ces unités complexes spéciales qui apparaissent dans certains corps de nombres algébriques. Il a géré l’entreprise familiale commerciale et foncière jusqu’à l’âge de 30 ans, date à laquelle il a pu prendre sa retraite financièrement. Alors qu’il était en affaires, il a étudié les mathématiques comme un loisir. De 1861 à 1883, Kronecker a enseigné à l’Université de Berlin et, en 1883, il a succédé à Kummer en tant que professeur.
Kronecker était avant tout un arithméticien et un algébriste. Ses principales contributions concernaient les fonctions elliptiques , la théorie des équations algébriques et la théorie des nombres algébriques . Dans ce dernier domaine, il a créé une alternative à la théorie de son compatriote Julius Dedekind. La théorie des grandeurs algébriques de Kronecker (1882) présente une partie de cette théorie ; sa philosophie des mathématiques, cependant, semble destinée à survivre à ses contributions plus techniques. Il a été le premier à douter de la signification des preuves d’existence non constructives (des preuves qui montrent que quelque chose doit exister, souvent en utilisant une preuve par contradiction, mais qui ne donnent aucune méthode pour les produire), et pendant de nombreuses années il a mené une polémique contre l’analytique école du mathématicien allemand Karl Weierstrass concernant ces preuves et d’autres points d’analyse classique. Kronecker s’est joint à Weierstrass pour approuver l’arithmétisation universelle de l’analyse, mais il a insisté pour que toutes les mathématiques soient réduites aux nombres entiers positifs.
Biographie – Leopold Kronecker (1823-1891)
Les parents de Leopold Kronecker étaient aisés, son père, Isidor Kronecker, étant un homme d’affaires prospère tandis que sa mère était Johanna Prausnitzer, également issue d’une famille aisée. Les familles étaient juives, la religion que Kronecker a conservée jusqu’à un an avant sa mort, lorsqu’il s’est converti au christianisme. Les parents de Kronecker ont employé des précepteurs privés pour lui enseigner jusqu’à la scène lorsqu’il est entré au Gymnase de Liegnitz, et ce tutorat lui a donné une base très solide pour son éducation. Kronecker a appris les mathématiques au Liegnitz Gymnasium par Kummer, et c’est grâce à Kummer que Kronecker s’est intéressé aux mathématiques. Kummera immédiatement reconnu le talent de Kronecker pour les mathématiques et il l’a emmené bien au-delà de ce à quoi on s’attendrait à l’école, l’encourageant à entreprendre des recherches. Malgré son éducation juive, Kronecker a reçu une instruction religieuse luthérienne au Gymnasium, ce qui montre certainement que ses parents étaient ouverts d’esprit sur les questions religieuses. Kronecker est devenu un étudiant à l’université de Berlin en 1841 et là il a étudié sous Dirichlet et Steiner. Il ne s’est cependant pas limité à étudier les mathématiques, car il a étudié d’autres sujets tels que l’astronomie, la météorologie et la chimie. Il s’est particulièrement intéressé à la philosophie en étudiant les œuvres philosophiques de Descartes, Leibniz, Kant, Spinoza et Hegel. Après avoir passé l’été 1843 à l’Université de Bonn, où il se rendit en raison de son intérêt pour l’astronomie plutôt que pour les mathématiques, il se rendit ensuite à l’Université de Breslau pour le semestre d’hiver 1843-1844. La raison pour laquelle il est allé à Breslau était certainement à cause de son intérêt pour les mathématiques car il voulait étudier à nouveau avec son ancien professeur Kummer qui avait été nommé à une chaire à Breslau en 1842. ![PDF] On the Concept of Number | Semantic Scholar](https://d3i71xaburhd42.cloudfront.net/02f32c53ecb6ff075289e658b85bc7561670ddbf/5-Figure2-1.png)
Kronecker passa un an à Breslau avant de retourner à Berlin pour le semestre d’hiver 1844-1845. De retour à Berlin, il a travaillé sur sa thèse de doctorat sur la théorie algébrique des nombres sous la direction de Dirichlet. La thèse, Sur les unités complexes, fut soutenue le 30 juillet 1845 et il passa l’examen oral nécessaire le 14 août. Dirichlet a commenté la thèse en disant que Kronecker y montrait :
– . Une pénétration inhabituelle, une grande assiduité et une connaissance exacte de l’état actuel des mathématiques supérieures.
Cela peut surprendre de nombreux doctorants. étudiants d’entendre que Kronecker a été interrogé lors de son oral sur un large éventail de sujets, y compris la théorie des probabilités appliquée aux observations astronomiques, la théorie des intégrales définies, des séries et des équations différentielles , ainsi que sur le grec et l’histoire de la philosophie.
Jacobi a eu des problèmes de santé qui l’ont poussé à quitter Königsberg, où il occupait une chaise, et à retourner à Berlin. Eisenstein, dont la santé était également mauvaise, donna des conférences à Berlin à cette époque et Kronecker en vint à bien connaître les deux hommes. La direction dans laquelle les intérêts mathématiques de Kronecker sont allés plus tard a beaucoup à voir avec l’influence de Jacobi et d’Eisenstein vers cette heure-ci. Cependant, tout comme il semblait qu’il allait se lancer dans une carrière universitaire, Kronecker quitta Berlin pour s’occuper des affaires familiales. Il aida à gérer les affaires bancaires du frère de sa mère et, en 1848, il épousa la fille de cet oncle, Fanny Prausnitzer. Il gère également un domaine familial mais trouve quand même le temps de continuer à travailler sur les mathématiques, bien qu’il le fasse uniquement pour son propre plaisir.
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Certes, Kronecker n’avait pas besoin d’occuper un emploi rémunéré puisqu’il était désormais un homme riche. Son plaisir des mathématiques signifiait, cependant, que lorsque les circonstances ont changé en 1855 et il n’avait plus besoin de vivre sur le domaine à l’extérieur de Liegnitz, il retourna à Berlin. Il ne souhaitait pas un poste universitaire, mais plutôt participer à la vie mathématique de l’université et entreprendre des recherches en interaction avec les autres mathématiciens.
En 1855, Kummer vint à Berlin pour occuper le poste devenu vacant lorsque Dirichlet partit pour Göttingen. Borchardt avait donné des conférences à Berlin depuis 1848 et, à la fin de 1855, il prit la direction de la rédaction du Crelle’s Journal à la mort de Crelle. En 1856 Weierstrass est venu à Berlin, donc moins d’un an après le retour de Kronecker à Berlin, la remarquable équipe de Kummer, Borchardt, Weierstrass et Kronecker était en place à Berlin. Bien sûr, comme Kronecker n’occupait pas de poste universitaire, il ne donnait pas de cours à cette époque mais était remarquablement actif dans la recherche en publiant un grand nombre d’ouvrages en succession rapide. Celles-ci portaient sur la théorie des nombres, les fonctions elliptiques et l’algèbre, mais, plus important encore, il a exploré les interconnexions entre ces sujets. Kummer a proposé Kronecker pour l’élection à l’Académie de Berlin en 1860, et la proposition a été appuyée par Borchardt et Weierstrass. Le 23 janvier 1861, Kronecker fut élu à l’Académie et cela eut un avantage surprenant.
Pour les meilleurs étudiants, ses cours étaient exigeants mais stimulants. Cependant, il n’était pas un enseignant populaire auprès des étudiants moyens :
– Kronecker n’a pas attiré un grand nombre d’étudiants. Seuls quelques-uns de ses auditeurs ont pu suivre les envolées de sa pensée, et seuls quelques-uns ont persévéré jusqu’à la fin du semestre.
Berlin attirait Kronecker, à tel point que lorsqu’on lui proposa la chaire de mathématiques à Göttingen en 1868, il refusa. Il a accepté des honneurs tels que l’élection à l’Académie de Paris cette année-là et pendant de nombreuses années, il a entretenu de bonnes relations avec ses collègues de Berlin et d’ailleurs. Afin de comprendre pourquoi les relations ont commencé à se détériorer dans les années 1870, nous devons examiner de plus près les contributions mathématiques de Kronecker. Nous avons déjà indiqué que les principales contributions de Kronecker étaient dans la théorie des équations et de l’algèbre supérieure, avec ses contributions majeures dans les fonctions elliptiques, la théorie des équations algébriques et la théorie des nombres algébriques. Cependant, les sujets qu’il a étudiés étaient limités par le fait qu’il croyait en la réduction de toutes les mathématiques à des arguments impliquant uniquement les nombres entiers et un nombre fini d’étapes. Kronecker est bien connu pour sa remarque :
– Dieu a créé les nombres entiers, tout le reste est l’œuvre de l’homme.
Le séminaire mathématique de Berlin avait été fondé conjointement en 1861 par Kummer et Weierstrass et, lorsque Kummer prit sa retraite en 1883, Kronecker devint codirecteur du séminaire. Cela a accru l’influence de Kronecker à Berlin. La renommée internationale de Kronecker s’est également répandue et il a été honoré d’être élu membre étranger de la Royal Society of London le 31 janvier 1884. Il était également une figure très influente au sein des mathématiques allemandes :
– Il a établi d’autres contacts avec des scientifiques étrangers lors de nombreux voyages à l’étranger et en leur offrant l’hospitalité de sa maison berlinoise. Pour cette raison, ses conseils étaient souvent sollicités pour remplir des chaires de mathématiques en Allemagne et ailleurs ; ses recommandations étaient probablement aussi importantes que celles de son ancien ami Weierstrass. 
Bien que le point de vue de Kronecker sur les mathématiques ait été bien connu de ses collègues tout au long des années 1870 et 1880, ce n’est qu’en 1886 qu’il a rendu ces points de vue publics. Cette année-là, il s’est opposé à la théorie des nombres irrationnels utilisée par Dedekind, Cantor et Heine en donnant les arguments par lesquels il s’est opposé : –
.. l’introduction de divers concepts à l’aide desquels il a été fréquemment tenté ces derniers temps (mais d’abord par Heine) de concevoir et d’établir les « irrationnels » en général. Même le concept d’une série infinie, par exemple croissante selon des puissances définies de variables, n’est à mon avis admissible qu’avec la réserve que dans chaque cas particulier, sur la base des lois arithmétiques de construction des termes (ou coefficients), … il faut démontrer que certaines hypothèses sont applicables à la série comme des expressions finies, et qui rendent ainsi l’extension au-delà du concept de série finie vraiment inutile. 
Une autre caractéristique de la personnalité de Kronecker était qu’il avait tendance à se brouiller personnellement avec ceux avec lesquels il n’était pas d’accord mathématiquement. Bien sûr, étant donné sa conviction que seuls des objets mathématiques de construction finie existaient, il était complètement opposé aux idées développées par Cantor en théorie des ensembles. Non seulement les mathématiques de Dedekind, Heine et Cantor étaient inacceptables pour cette façon de penser, et Weierstrass en vint également à penser que Kronecker essayait de convaincre la prochaine génération de mathématiciens que le travail de Weierstrass sur l’analyse n’avait aucune valeur. Kronecker n’avait aucun poste officiel à Berlin jusqu’à ce que Kummer prenne sa retraite en 1883lorsqu’il a été nommé à la présidence. Mais en 1888, Weierstrass sentit qu’il ne pouvait plus travailler avec Kronecker à Berlin et décida de se rendre en Suisse, mais réalisant alors que Kronecker serait en position de force pour influencer le choix de son successeur, il décida de rester à Berlin. Kronecker était de très petite taille et extrêmement gêné par sa taille. Un exemple de la réaction de Kronecker s’est produit en 1885 lorsque Schwarz lui a envoyé une salutation qui comprenait la phrase : –
Ici, Schwarz plaisantait sur le petit homme Kronecker et le grand homme Weierstrass. Kronecker n’a cependant pas vu le côté amusant du commentaire et n’a jamais eu d’autres relations avec Schwarz (qui était l’élève de Weierstrass et le gendre de Kummer). D’autres font cependant preuve de plus de tact et, par exemple, Helmholtz qui est professeur à Berlin à partir de 1871, parvient à rester en bons termes avec Kronecker. La Deutsche Mathematiker-Vereinigung a été créée en 1890 et la première réunion de l’Association a été organisée à Halle en septembre 1891. Malgré l’antagonisme amer entre Cantor et Kronecker, Cantor a invité Kronecker à s’adresser à cette première réunion en signe de respect pour l’une des figures les plus éminentes et les plus éminentes des mathématiques allemandes. Cependant, Kronecker ne s’est jamais adressée à la réunion, car sa femme a été grièvement blessée dans un accident d’escalade cet été et est décédée le 23 août 1891. Kronecker ne survécut que quelques mois à sa femme et mourut en décembre 1891.
Nous ne devrions pas penser que les vues de Kronecker sur les mathématiques étaient totalement excentriques. Bien qu’il soit vrai que la plupart des mathématiciens de son époque ne seraient pas d’accord avec ces points de vue, et en fait la plupart des mathématiciens d’aujourd’hui ne seraient pas d’accord avec eux, ils n’ont pas été mis de côté. Les idées de Kronecker ont été développées par Poincaré et Brouwer, qui ont mis un accent particulier sur l’intuition. L’intuitionnisme souligne que les mathématiques ont priorité sur la logique, les objets des mathématiques sont construits et exploités dans l’esprit par le mathématicien, et il est impossible de définir les propriétés des objets mathématiques simplement en établissant un certain nombre d’axiomes.
Fondements des mathématiques
Fondements des mathématiques, l’étude de la logique et de la philosophie base des mathématiques, y compris si les axiomes d’un système donné assurent sa complétude et sa cohérence. Parce que les mathématiques ont servi de modèle pour la recherche rationnelle en Occident et sont largement utilisées dans les sciences, les études fondamentales ont des conséquences considérables sur la fiabilité et l’extensibilité de la pensée rationnelle elle-même.
Pendant 2 000 ans, les fondements des mathématiques semblaient parfaitement solides d’Euclide Elements (vers 300 avant notre ère), qui présentait un ensemble d’arguments logiques formels basés sur quelques termes et axiomes de base, a fourni une méthode systématique d’exploration rationnelle qui a guidé les mathématiciens, les philosophes et les scientifiques jusqu’au XIXe siècle. Même les objections sérieuses au manque de rigueur denotion de fluxions (dérivées) dans le calcul de Sir Isaac Newton, soulevées par l’empiriste anglo-irlandais George Berkeley (entre autres), n’ont pas remis en cause les fondements fondamentaux des mathématiques. La découverte au 19ème siècle de constantes les géométries alternatives , cependant, ont précipité une crise, car elles ont montré que la géométrie euclidienne , basée sur les hypothèses axiomatiques apparemment les plus intuitivement évidentes , ne correspondait pas à la réalité comme les mathématiciens l’avaient cru. Ceci, ainsi que les découvertes audacieuses du mathématicien allemand Georg Cantor en théorie des ensembles, ont clairement montré que, pour éviter toute confusion supplémentaire et répondre de manière satisfaisante aux résultats paradoxaux, une nouvelle base plus rigoureuse pour les mathématiques était nécessaire.
Ainsi commença la quête du XXe siècle pour reconstruire les mathématiques sur une nouvelle base indépendante des intuitions géométriques. Les premiers efforts comprenaient ceux de l’école logiciste des mathématiciens britanniques Bertrand Russell et Alfred North Whitehead, l’école formaliste du mathématicien allemand David Hilbert, l’école intuitionniste du mathématicien néerlandais LEJ Brouwer et l’école française de théorie des ensembles de mathématiciens écrivant collectivement sous le pseudonyme de Nicolas Bourbaki. Certaines des recherches actuelles les plus prometteuses sont basées sur le développement de la théorie des catégories par le mathématicien américain Saunders Mac Lane et le mathématicien américain d’origine polonaise Samuel Eilenberg à la suite de Seconde Guerre mondiale. Cet article présente le contexte historique des questions fondamentales et les efforts du XXe siècle pour construire une nouvelle base fondamentale pour les mathématiques.
Leopold Kronecker (1823-1891)
https://www.britannica.com/science/foundations-of-mathematics
https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Kronecker/