Qu’est-ce qu’une fonction mathématique – selon Johann Bernoulli
Bernoulli a étudié la réflexion et la réfraction de la lumière, les trajectoires orthogonales des familles de courbes, la quadrature des aires par séries et la brachistochrone.
Johann Bernoulli (1667-1748), frère de Jacob Bernoulli, est un mathématicien suisse né le 27 juillet 1667 à Bâle. Il était un autre membre de la famille Bernoulli dont l’inclination vers les mathématiques, malgré l’objection de ses parents, était apparemment très forte. Après avoir rejeté l’entreprise familiale d’épices, Johann entre à l’Université de Bâle en 1683. Il étudie la médecine après la forte persuasion de son père mais prend des cours de mathématiques auprès de son frère, qui à l’époque enseigne à l’Université. Il a fallu moins de deux ans à Johann pour devenir un égal à l’intellect mathématique de son frère. En 1690, après sa première publication sur le processus de «fermentation», Johann décide de voyager à la recherche de plus de connaissances mathématiques. Il se rendit à Paris où il enseigna le nouveau calcul de Leibniz à Guillaume de l’Hôpital qui lui rétribua généreusement les cours.
Les années 1690 furent une période prospère pour Johann car nombre de ses articles étaient publiés, y compris sa thèse sur l’application des mathématiques à la médecine et de nombreux autres articles mathématiques qu’il avait écrits en correspondance avec Leibniz. En 1691, Johann résout le problème de la « caténaire » qui avait été posé par son frère. Bien que Johann apprenne beaucoup de Jacob, l’alliance entre eux s’est rapidement transformée en une hostilité sévère, les deux essayant de prouver qu’ils étaient de meilleurs mathématiciens. En 1694, Johann réussit à intégrer des équations différentielles. Ceci, ainsi que de nombreuses autres réalisations, a valu à Johann l’offre de deux chaires de mathématiques, l’une à Halle et l’autre à Groningue.
L’étude du calcul 
Le calcul est l’étude mathématique du changement. Ses premières racines peuvent être trouvées dans les travaux de Descartes, Pascal, Fermat et d’autres qui, au début du XVIIe siècle, ont discuté de l’idée du dérivé. À la fin des années 1600, Isaac Newton et Gottfried Leibniz, travaillant indépendamment l’un de l’autre, ont développé la théorie du calcul infinitésimal, ce que Bernoulli et son frère étudiaient à l’université. Le calcul infinitésimal est l’étude de la recherche de lignes tangentes aux courbes, des aires sous les courbes, des minima et des maxima, et d’autres problèmes géométriques et analytiques.
Johann Bernoulli – Expert en calcul infinitésimal 
Johann et son frère Jacob ont passé la plupart de leur temps à étudier les articles de Leibniz sur le calcul jusqu’à ce qu’ils deviennent des experts de ses théories et de ses idées. Ce nouveau domaine du calcul infinitésimal a déconcerté de nombreux mathématiciens de l’époque, mais Bernoulli a étudié les principes jusqu’à ce qu’il les maîtrise. Cela a attiré l’attention de Guillaume François Antoine Marquis de L’Hôpital, qui a demandé à Johann de lui enseigner les principes du calcul. Il a passé du temps à Paris et à la maison de L’Hôpital lui enseignant ces principes. 
Au bout d’un certain temps, Bernoulli retourna en Suisse, mais les cours se poursuivirent par correspondance. L’Hôpital a généreusement payé Bernoulli pour son temps et ses talents, puis a publié le premier livre sur le calcul basé sur les conférences de Bernoulli. Bernoulli était extrêmement contrarié par cette publication. Il a estimé qu’il n’avait pas obtenu le crédit qu’il méritait pour son travail. La seule mention de Bernoulli dans le livre se trouve dans la préface, qui dit : « Et puis je suis obligé aux messieurs Bernoulli pour leurs nombreuses idées lumineuses ; en particulier au jeune M. Bernoulli qui est maintenant professeur à Groningen. Il est connu pour ses contributions au calcul infinitésimal et pour l’éducation de Leonhard Euler dans la jeunesse de l’élève. « Je reconnais le lion à sa griffe. » – Johann Bernoulli, après avoir lu une solution anonyme à un problème dont il s’est rendu compte qu’il s’agissait de la solution de Newton.
Qu’est-ce qu’une fonction mathématique – selon Johann Bernoulli
Le Marquis de l’Hôpital
C’était le premier manuel sur le calcul infinitésimal et il présentait les idées du calcul différentiel et leurs applications à la géométrie différentielle des courbes sous une forme lucide et avec de nombreuses figures. Contrairement à ce qu’on dit couramment de nos jours, de l’Hôpital était un fin mathématicien, peut-être le meilleur mathématicien de Paris à cette époque, bien qu’il ne fût pas tout à fait dans la même classe que Johann Bernoulli. Comme on pouvait s’y attendre, le fait que cet ouvrage ne reconnaisse pas le fait qu’il était basé sur ses conférences a grandement contrarié Johann Bernoulli.
La préface du livre ne contient que la déclaration : « Et puis je suis obligé aux messieurs Bernoulli pour leurs nombreuses idées lumineuses ; en particulier au jeune M. Bernoulli qui est maintenant professeur à Groningen. La règle bien connue de l’Hôpital est contenue dans ce livre de calcul et c’est donc un résultat de Johann Bernoulli. En fait, la preuve que l’œuvre était due à Bernoulli n’a été obtenue qu’en 1922 lorsqu’une copie du cours de Johann Bernoulli réalisée par son neveu Nicolaus Bernoulli a été retrouvée à Bâle.
Carrière académique
En 1694, Bernoulli obtient son doctorat en médecine à Bâle. A partir de 1693, il entame une longue correspondance avec Leibniz, avec qui, entre autres, il mène une polémique en 1712 sur les valeurs du logarithme pour les valeurs négatives de l’argument. En 1695, il devint professeur à Groningue (dans lequel son frère Jacob, avec qui il était en conflit à partir de 1697 environ, n’était pas entièrement étranger). En 1705, après la mort de son frère de la tuberculose, il devient son successeur comme professeur de mathématiques à Bâle.
Après la mort de Leibniz en 1716, il fut le principal représentant du calcul différentiel en Europe continentale. Dans la controverse Newton-Leibniz, il a fortement soutenu Leibniz et a ajouté du poids à l’argument en montrant la puissance de son calcul pour résoudre certains problèmes que Newton n’avait pas réussi à résoudre avec ses méthodes. Bien que Bernoulli ait essentiellement raison dans son soutien aux méthodes de calcul supérieures de Leibniz, il a également soutenu la théorie des vortex de Descartes par rapport à la théorie de la gravitation de Newton et ici, il était certainement incorrect. Il a eu une autre querelle avec Brook Taylor.
Le concept moderne de fonction mathématique 
Ses domaines de travail comprenaient les séries, les équations différentielles, les courbes sous des aspects géométriques et mécaniques. Il a contribué au développement du concept moderne de fonction et a joué un rôle important dans les débuts du calcul des variations. Leibniz (1646 à 1716) utilise le mot fonction pour la première fois en 1692 pour désigner des longueurs qui dépendent d’un point d’une courbe supposée mobile.
Johann Bernoulli a fourni la première définition, et Leonhard Euler (1707 à 1783), Fourier (1768 à 1830) et Dirichlet (1805 à 1859) ont ensuite contribué de manière significative au développement et à la spécification du terme fonction. En mathématiques, une fonction fest une affectation non ambiguë qui affecte de manière unique un élément y d’un ensemble W à chaque élément x d’un ensemble D. D est le domaine, W le domaine de la fonction f. Entre autres choses, Bernoulli résout le problème des brachistochrons (posé par Jakob Bernoulli en 1696) et publie sa solution en 1708. En 1717, Johann I Bernoulli donne la formule générale du principe du travail virtuel pour les corps rigides dans une lettre à Pierre de Varignon. Il s’est également occupé d’hydraulique, bien qu’il se soit réclamé des résultats de son fils Daniel Bernoulli.
Concours académique royal
En 1724, Johann Bernoulli participe à un concours parrainé par l’Académie royale des sciences française, qui pose la question :
Quelles sont les lois suivant lesquelles un corps parfaitement dur, mis en mouvement, meut un autre corps de même nature soit au repos, soit en mouvement, et qu’il rencontre soit dans le vide, soit dans un plein ?
En défendant un point de vue précédemment adopté par Leibniz, il s’est retrouvé à postuler une force externe infinie nécessaire pour rendre le corps élastique en surmontant la force interne infinie rendant le corps dur. En conséquence, il a été disqualifié pour le prix, qui a été remporté par Maclaurin. Cependant, l’article de Bernoulli fut par la suite accepté en 1726 lorsque l’Académie examina des articles concernant les corps élastiques, pour lesquels le prix fut décerné à Pierre Mazière. Bernoulli a reçu une mention honorable dans les deux concours.
Une compétition à vie
Bien que Johann et son frère Jacob Bernoulli aient travaillé ensemble avant que Johann n’obtienne son diplôme de l’Université de Bâle, peu de temps après, les deux ont développé une relation jalouse et compétitive. Johann était jaloux de la position de Jacob et les deux tentaient souvent de se surpasser. Après la mort de Jacob, la jalousie de Johann s’est déplacée vers son propre fils talentueux, Daniel. Bernoulli a également apporté d’importantes contributions à la mécanique avec ses travaux sur l’énergie cinétique, qui, sans surprise, était un autre sujet sur lequel les mathématiciens se sont disputés pendant de nombreuses années.
Son travail Hydraulica est un autre signe de sa nature jalouse. L’œuvre est datée de 1732 mais c’est incorrect et c’était une tentative de Johann d’obtenir la priorité sur son propre fils Daniel, qui a terminé son ouvrage le plus important Hydrodynamica en 1734 et l’a publié en 1738 à peu près au même moment que Johann a publié Hydraulica . Ce n’était pas un incident isolé, et comme il avait concouru avec son frère, il concourait maintenant avec son propre fils. Johann Bernoulli a atteint une grande renommée de son vivant. Il a été élu membre des académies de Paris, Berlin, Londres, Saint-Pétersbourg et Bologne. Il était connu comme «l’Archimède de son époque» et cela est en effet inscrit sur sa pierre tombale.
La vie plus tard
En 1696, Johann a également proposé le problème de la «Brachistochrone» qui était «quelle forme un fil doit avoir pour qu’une perle se déplace d’une extrémité à l’autre dans le temps le plus court possible». Cela a été résolu par lui, Newton, Leibniz, L’Hôpital et Jacob Bernoulli. Il a également inventé une machine qui était essentiellement une machine à mouvement à énergie fluide. En 1705, après la mort de son frère aîné, Johann reprend son poste de professeur à l’Université de Bâle. Sa position réputée dans le monde mathématique ne pouvait être niée après cela. Il a également avancé dans le domaine de la mécanique et certains érudits vont jusqu’à croire que c’est Johann Bernoulli qui a été le pionnier du principe de conservation.
Bernoulli a également apporté d’importantes contributions à la mécanique avec ses travaux sur l’énergie cinétique, qui, sans surprise, était un autre sujet sur lequel les mathématiciens se sont disputés pendant de nombreuses années. Son œuvre Hydraulica Ⓣ est un autre signe de sa nature jalouse. L’œuvre est datée de 1732 mais c’est incorrect et c’était une tentative de Johann d’obtenir la priorité sur son propre fils Daniel. Daniel Bernoulli a terminé son ouvrage le plus important Hydrodynamica Ⓣ en 1734 et l’a publié en 1738 à peu près au même moment que Johann a publié Hydraulica. Ce n’était pas un incident isolé, et comme il avait concouru avec son frère, il concourait maintenant avec son propre fils. Comme une étude des archives historiques a justifié les affirmations de Johann comme étant l’auteur du livre de calcul de l’Hôpital, elle a montré que ses affirmations selon lesquelles il aurait publié Hydraulica avant que son fils n’écrive Hydrodynamica sont fausses. 
Johann épousa Dorothea Falkner et en septembre 1695, alors que leur premier enfant, Nicholas (II) Bernoulli n’avait que sept mois, Johann décida de déménager en Hollande ; une décision qui a été ressentie à la fois par sa femme et son beau-père en raison de la difficulté qu’ils auraient à affronter pendant le voyage. Ils y ont vécu pendant une décennie, ce qui s’est avéré être une période plutôt éprouvante pour Johann. Il a fait face à de nombreuses allégations dont l’une émanait d’un étudiant de l’Université de Groningue qui l’avait accusé de ne pas les laisser pratiquer librement leur foi religieuse et de copier les idées de Descartes ; les deux accusations ont été démenties par Johann. La controverse Newton-Leibniz et la jalousie envers le talent mathématique de son propre fils étaient également un signe de la nature envieuse de Johann. Son travail ‘Hydraulica‘ était une tentative de saper son fils Daniel Bernoulli qui avait prévu de publier son ouvrage ‘Hydrodynamica‘. « L’Archimède de son temps » Johann Bernoulli est mort à l’âge de 80 ans le 1er janvier 1748.
Mathématicien suisse (alias Jean Bernoulli) connu pour sa découverte du calcul exponentiel (1691) et de l’équation de la chaînette (1690). Sa première publication était sur le processus de fermentation (1690), mais par la suite, il a étudié et enseigné les mathématiques pour le reste de sa vie. Il succède à son frère Jacques comme professeur de mathématiques à Bâle. Il a été le premier à utiliser g pour représenter l’accélération due à la gravité. Il a appliqué le calcul alors nouveau à la mesure des courbes, aux équations différentielles et aux problèmes mécaniques. Il a introduit le fameux problème du brachistochrone. « Archimède de son âge » était inscrit sur sa pierre tombale. Le mathématicien Jacob Bernoulli était son frère et le mathématicien Daniel Bernoulli était son fils.
https://study.com/academy/lesson/johann-bernoullis-contributions-to-math-biography-lesson-quiz.html
https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Bernoulli_Johann/
https://famous-mathematicians.com/johann-bernoulli/
https://todayinsci.com/1/1_01.htm#death