Les idées de Riemann concernant la géométrie de l’espace ont eu un effet profond sur le développement de la physique théorique moderne 
Représentation 2D de la fonction zêta de Riemann
Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) était un mathématicien allemand, connu pour sa contribution à la géométrie différentielle, à la théorie des nombres et à l’analyse complexe. Né d’un pasteur de village pauvre du royaume de Hanovre, il a fait preuve de grandes compétences en mathématiques dès sa plus tendre enfance. Après avoir reçu son éducation élémentaire à la maison, il a d’abord été envoyé à Hanovre, puis à Lüneburg pour son éducation formelle. Par la suite, il s’inscrit à l’Université de Göttingen avec théologie et philosophie ; jusque-là, son but dans la vie était de devenir pasteur comme son père. C’est à peu près à cette époque qu’il a décidé de poursuivre les mathématiques comme option de carrière et a déménagé à l’Université de Berlin pour étudier les mathématiques avec d’éminents professeurs. Après avoir obtenu son baccalauréat, il est retourné à Göttingen et y est resté pour le reste de sa vie.
La découverte de la fonction zêta de Riemann et la relation entre ses zéros et les nombres premiers ont valu à Riemann une renommée instantanée lors de sa publication en 1859. Lui aussi, cependant, mourut jeune à seulement 39 ans, en 1866, et nombre de ses des papiers ont été accidentellement détruits après sa mort, nous ne saurons donc jamais à quel point il était proche de prouver sa propre hypothèse. Plus de 150 ans plus tard, l’hypothèse de Riemann est toujours considérée comme l’une des questions fondamentales de la théorie des nombres, et en fait de toutes les mathématiques, et un prix de 1 million de dollars a été offert pour la solution terminale .
Bernhard Riemann était un autre géant des mathématiques originaire du nord de l’Allemagne. Pauvre, timide, maladif et dévotement religieux, le jeune Riemann n’a cessé d’émerveiller ses professeurs et de faire preuve dès son plus jeune âge de capacités mathématiques exceptionnelles (telles que de fantastiques capacités de calcul mental), mais souffrait de timidité et de la peur de parler en public. Il a cependant été laissé libre cours à la bibliothèque de l’école par un professeur astucieux, où il a dévoré des textes mathématiques de Legendre et d’autres, et s’est progressivement transformé en un excellent mathématicien. Il a également continué à étudier la Bible de manière intensive et, à un moment donné, a même essayé de prouver mathématiquement l’exactitude du Livre de la Genèse.
Bien qu’il ait commencé à étudier la philologie et la théologie afin de devenir prêtre et d’aider aux finances de sa famille, le père de Riemann a finalement réussi à rassembler suffisamment d’argent pour l’envoyer étudier les mathématiques à la célèbre université de Göttingen en 1846, où il s’est rencontré pour la première fois et a fréquenté les conférences de Carl Friedrich Gauss. En effet, il fut l’un des rares à bénéficier du soutien et du mécénat de Gauss, et il gravit progressivement la hiérarchie de l’Université pour devenir professeur et, éventuellement, chef du département de mathématiques à Göttingen.
Géométrie Riemannienne, également appelée Géométrie Elliptique
Géométrie elliptique
Riemann a développé un type de géométrie non euclidienne, différent de la géométrie hyperbolique de Bolyai et Lobachevsky, connue sous le nom de géométrie elliptique. Comme pour la géométrie hyperbolique, il n’y a pas de lignes parallèles, et les angles d’un triangle ne totalisent pas 180° (dans ce cas, cependant, ils totalisent plus de 180°). Il a ensuite développé la géométrie riemannienne, qui a unifié et largement généralisé les trois types de géométrie, ainsi que le concept d’espace multiple ou mathématique, qui a généralisé les idées de courbes et de surfaces.
Un tournant dans sa carrière s’est produit en 1852 quand, à l’âge de 26 ans, il a donné une conférence sur les fondements de la géométrie et a esquissé sa vision d’une mathématique de plusieurs types d’espace différents, dont un seul était l’espace plat et euclidien que nous semblons habiter. Il a également introduit des variétés complexes unidimensionnelles connues sous le nom de surfaces de Riemann. Même si elles n’étaient pas largement comprises à l’époque, les mathématiques de Riemann ont changé notre regard sur le monde et ont ouvert la voie à une géométrie de dimension supérieure, un potentiel qui existait, non réalisé, depuis l’époque de Descartes.![Visual] The Riemann Zeta Function Visualised - YouTube](https://i.ytimg.com/vi/GcbML8bGSu8/maxresdefault.jpg)
Métrique
Avec sa « métrique de Riemann », Riemann a complètement rompu avec toutes les limitations de la géométrie à 2 et 3 dimensions , même la géométrie des espaces courbes de Bolyai et Lobachevsky , et a commencé à penser dans des dimensions supérieures, étendant la géométrie différentielle des surfaces en n dimensions. . Sa conception de l’espace multidimensionnel (connu sous le nom d’ espace riemannien ou variété riemannienne ou simplement » hyperespace « ) a permis le développement ultérieur de la relativité générale et est au cœur d’une grande partie des mathématiques d’aujourd’hui, en géométrie, théorie des nombres et autres branches des mathématiques. Un Tenseur
Il a introduit une collection de nombres (connue sous le nom de tenseur) à chaque point de l’espace, qui décrirait à quel point il était plié ou courbé. Par exemple, dans quatre dimensions spatiales, une collection de dix nombres est nécessaire à chaque point pour décrire les propriétés de l’espace mathématique ou variété, aussi déformée soit-elle.
Fonction Zêta
La grande percée de Riemann s’est produite alors qu’il travaillait sur une fonction dans le plan complexe appelée la fonction zêta de Riemann (une extension de la fonction zêta plus simple explorée pour la première fois par Euler au siècle précédent). Il s’est rendu compte qu’il pouvait l’utiliser pour construire une sorte de paysage en 3 dimensions, et de plus que les contours de ce paysage imaginaire pourraient être capables de déverrouiller le Saint Graal des mathématiques, le secret séculaire des nombres premiers.
Riemann a remarqué qu’à des endroits clés, la surface de son graphique tridimensionnel plongeait jusqu’à la hauteur zéro (appelée simplement « les zéros ») et a pu montrer qu’au moins les dix premiers zéros semblaient inexplicablement s’aligner en ligne droite à travers le paysage tridimensionnel de la fonction zêta, connue sous le nom de ligne critique, où la partie réelle de la valeur est égale à ½.
Avec un énorme saut imaginatif, Riemann s’est rendu compte que ces zéros avaient un lien tout à fait inattendu avec la façon dont les nombres premiers sont distribués. Il a commencé à sembler qu’ils pourraient être utilisés pour corriger les suppositions inspirées de Gauss concernant le nombre de nombres premiers en tant que nombres à mesure que l’on compte de plus en plus.
Hypothèse de Riemann
La fameuse hypothèse de Riemann, qui reste à prouver, suggère que TOUS les zéros seraient sur la même ligne droite. Bien qu’il n’ait jamais fourni de preuve définitive de cette hypothèse, les travaux de Riemann ont au moins montré que les approximations initiales de l’incidence des nombres premiers de Gauss, âgé de 15 ans, étaient peut-être plus précises que lui-même n’aurait pu le savoir, et que les nombres premiers étaient en fait répartis sur l’univers des nombres d’une manière régulière, équilibrée et belle.
Géométrie riemannienne
En 1854, Riemann a présenté ses réflexions sur la géométrie, pour la qualification post-doctorale, au membre du corps professoral Gauss à Göttingen qui a été très impressionné par ses idées. Riemann a fait valoir que les ingrédients fondamentaux de la géométrie comprennent l’espace des points et qu’il s’agit de mesurer des distances le long de lignes ou de courbes dans cet espace.
Selon Riemann, l’espace n’a pas besoin d’être un simple espace euclidien, mais il peut avoir de nombreuses dimensions, voire des dimensions infinies. Il a également soutenu qu’il n’est pas nécessaire qu’une surface soit entièrement dessinée dans un espace tridimensionnel.
Son travail a inspiré Eugenio Beltrami, un mathématicien italien, à produire une description de la géométrie non euclidienne. L’idée de Riemann a jeté les bases mathématiques de la géométrie quadridimensionnelle de l’espace-temps produite par Einstein dans sa théorie de la relativité. La théorie de la relativité d’Albert Einstein était basée sur les notions de Riemann sur la géométrie de l’espace.
La théorie de la relativité générale a magnifiquement justifié son travail. Dans l’appareil mathématique développé à partir de l’adresse de Riemann, Einstein a trouvé le cadre pour s’adapter à ses idées physiques, sa cosmologie et sa cosmogonie : et l’esprit de l’adresse de Riemann était exactement ce dont la physique avait besoin : la structure métrique déterminée par les données.
Ouvrages
Certains de ses écrits célèbres (qui ont été publiés après sa mort) incluent On the Hypothesis Which Lie at the Foundation of Geometry en 1868, Collected Works of Bernhard Riemann publié en 1892 et Collected Papers publié en 2004.
Georg Friedrich Bernhard Riemann était un mathématicien allemand dont les travaux ont largement influencé la géométrie et l’analyse. En outre, ses idées concernant la géométrie de l’espace ont eu un effet profond sur le développement de la physique théorique moderne et ont servi de base aux concepts et méthodes utilisés plus tard dans la théorie de la relativité. Il a clarifié la notion d’intégrale en définissant ce que nous appelons aujourd’hui l’intégrale de Riemann. Il était un penseur original et une foule de méthodes, théorèmes et concepts portent son nom. Riemann souffrait de la tuberculose et il a passé ses dernières années en Italie pour tenter d’améliorer sa santé.
Représentation 2D de la fonction zêta de Riemann
Représentation 3D de la fonction zêta de Riemann et de l’hypothèse de Riemann
https://www.thefamouspeople.com/profiles/bernhard-riemann-biography-440.php
https://www.storyofmathematics.com/19th_riemann.html/